解答例 1

$1\in C(a)$. 特に, $C(a)\neq\emptyset$.

$x$, $y\in C(a)$ とする. \begin{align*} &(x-y)a = xa-ya = ax-ay = a(x-y), \\ &(xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = (ax)y = a(xy) \end{align*} であるから, $a-b$, $ab\in C(a)$. ゆえに, $C(a)$ は $R$ の部分環である.

さらに, $R$ は斜体であると仮定する. $x$ を $C(x)$ の $0$ でない元とすると, $x$ の逆元 $x^{-1}\in R$ が存在する. このとき, \begin{align*} x^{-1}a &= x^{-1}a(xx^{-1}) = x^{-1}(ax)x^{-1} \\ &= x^{-1}(xa)x^{-1} = (x^{-1}x)(ax^{-1}) \\ &= ax^{-1}. \end{align*} ゆえに, $x^{-1}\in C(a)$ となる. $R$ の単位元は $C(a)$ の単位元になるから, $x^{-1}$ は $C(a)$ における $x$ の逆元になる. よって, $x$ は $C(a)$ の単元になる. したがって, $C(a)$ は斜体である.

最終更新日：2011年11月02日