解答例 1

斜体 $K$ の中心 $$ Z(K) = \{a\in K\mid ax = xa\,(\forall x\in K)\} $$ は $K$ の可換な部分環である.

$a$ を $Z(K)$ の $0$ でない元とする. 任意の $x\in K$ に対して, \begin{align*} ax = xa &\Longrightarrow a^{-1}(ax)a^{-1} = a^{-1}(xa)a^{-1} \\ &\Longrightarrow (a^{-1}a)xa^{-1} = (a^{-1}x)aa^{-1} \\ &\Longrightarrow xa^{-1}=a^{-1}x \\ &\Longrightarrow a^{-1}x=xa^{-1}. \end{align*} ゆえに, $a^{-1}\in Z(K)$ となる. $R$ の単位元は $Z(K)$ の単位元になるから, $a^{-1}$ は $Z(K)$ における $a$ の逆元になる. よって, $a$ は $Z(K)$ の単元になる. したがって, $Z(K)$ は体である.

最終更新日：2011年11月02日