Keywords: 中心
Description: $Z(R)$ を $R$ の中心という.
$R$ を環とし, $$ Z(R) = \{a\in R\mid ax = xa\,(\forall x\in R)\} $$ とおく. このとき, $Z(R)$ は $R$ の可換な部分環であることを証明せよ.
解答例 1
$1\in Z(R)$. 特に, $Z(R)\neq\emptyset$.
$a$, $b\in Z(R)$ とする. 任意の $x\in R$ に対して, \begin{align*} &(a-b)x = ax-bx = xa-xb = x(a-b), \\ &(ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab) \end{align*} であるから, $a-b$, $ab\in Z(R)$. ゆえに, $Z(R)$ は $R$ の部分環である. さらに, 任意の $a$, $b\in Z(R)$ に対して $ab=ba$ が成り立つことは, $Z(R)$ の定め方からわかる.
最終更新日：2011年11月02日