解答例 1

$R$ のすべての極大右イデアルの共通部分を $\mathfrak{m}'$ とする. 左イデアルの場合と同様にして, $\mathfrak{m}'$ が $R$ の両側イデアルであることが示せる. また, 任意の $a\in\mathfrak{m}'$ に対して, $1-a$ が $R$ の単元であることも示せる. よって, $\mathfrak{m}'\subseteq\mathfrak{m}$. さらに, $R$ の両側イデアル $I$ について, 任意の $a\in I$ に対して $1-a$ が単元であるならば, $I\subset\mathfrak{m}'$ となることも示せる. よって, $\mathfrak{m}\subseteq\mathfrak{m}'$. ゆえに, $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}'$.

最終更新日：2011年11月02日