$R$ を環, $\mathfrak{m}$ を $R$ の Jacobson 根基, $I$ を $R$ の両側イデアルとする. 任意の $a\in I$ に対して, $1-a$ が $R$ の単元であるとする. このとき, $I\subseteq\mathfrak{m}$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$a\in I$ とする. 任意の $r\in R$ に対して, $ra\in I$ だから, 問題の仮定より $1-ra$ は $R$ の単元である. ゆえに, $a\in\mathfrak{m}$. したがって, $I\subseteq\mathfrak{m}$.
最終更新日：2011年11月02日