解答例 1

$R$ を環とし, $S$ を $R$ の空でない部分集合とする.

$R$ における加法と乗法 \begin{align*} &\rho_{1}: R\times R\longrightarrow R,\quad (x, y)\longmapsto x+y, \\ &\rho_{2}: R\times R\longrightarrow R,\quad (x, y)\longmapsto xy \end{align*} の $S\times S$ への制限 $\rho'_{1}=\rho_{1}\mid S\times S$, $\rho'_{2}=\rho_{2}\mid S\times S$ について, $$ \rho'_{1}(S\times S)\subseteq S,\quad \rho'_{2}(S\times S)\subseteq S $$ であるとする. すなわち, 任意の $x$, $y\in R$ に対して, $$ x, y\in S\Longrightarrow x+y,\,xy\in S $$ であるとする. さらに, $\rho'_{1}$ を加法, $\rho'_{2}$ を乗法として $S$ が環になり, $R$ の単位元が $S$ の単位元になるとき, $S$ は $R$ の部分環であるという.

最終更新日：2011年11月02日