解答例 1

二項係数 $\displaystyle\binom{p}{r}$ が整数であることは認めることにする. $$ \binom{p}{r} = \frac{p(p-1)\cdots(p-r+1)}{r!} $$ であるから, $$ r!\binom{p}{r} = p(p-1)\cdots(p-r+1). $$ ゆえに, $\displaystyle r!\binom{p}{r}$ は $p$ で割れる. $p$ は素数だから, $r!$ と $\displaystyle\binom{p}{r}$ のどちらかは必ず $p$ で割れる. もし仮に $r!$ が $p$ で割れるとすると, $1$, $2$, $\ldots$, $r$ のいずれかが $p$ で割れることになって, $1\leq r\leq p-1$ であることに矛盾する. ゆえに, $\displaystyle\binom{p}{r}$ が $p$ で割れなければならない.

最終更新日：2011年11月02日