$n$, $r$ を整数とし, $1\leq r\leq n$ であるとする. このとき, $$ \binom{n}{r-1}+\binom{n}{r} = \binom{n+1}{r} $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} \binom{n}{r-1}+\binom{n}{r} &= \frac{n(n-1)\cdots(n-r+2)}{(r-1)!} \\ &\qquad\qquad + \frac{n(n-1)\cdots(n-r+2)(n-r+1)}{r!} \\ &= \frac{1}{r!}\bigl(n(n-1)\cdots(n-r+2)r \\ &\qquad\qquad + n(n-1)\cdots(n-r+2)(n-r+1)\bigr) \\ &= \frac{n(n-1)\cdots(n-r+2)}{r!}\bigl(r+(n-r+1)\bigr) \\ &= \frac{(n+1)n(n-1)\cdots(n-r+2)}{r!} \\ &= \binom{n+1}{r}. \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日