$\displaystyle\frac{d}{dx}\cosh^{-1}{x} = \pm\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ を証明せよ. ただし, $\lvert x\rvert>1$ とする.
解答例 1
$y=\cosh^{-1}{x}$ とおくと, $$ \frac{d}{dx}\cosh^{-1}{x} = \frac{1}{\displaystyle\frac{d}{dy}\cosh{y}} = \frac{1}{\sinh{y}}. $$ 一方, $\cosh^2{y}-\sinh^2{y}=1$ より, $$ \sinh{y} = \pm\sqrt{\cosh^2{y}-1} = \pm\sqrt{x^2-1}. $$ ゆえに, $$ \frac{d}{dx}\cosh^{-1}{x} = \pm\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}. $$
最終更新日：2011年11月02日