解答例 1

$y=\sinh^{-1}{x}$ とおくと, $$ x = \sinh{y} = \frac{1}{2}(e^y-e^{-y}). $$ したがって, $$ e^{2y} - 2xe^{y} - 1 = 0. $$ $X=e^y$ とおくと, $$ X^2 - 2xX - 1 = 0. $$ これを $X$ についての $2$ 次方程式と考えて解くと, $$ X = x\pm\sqrt{x^2+1}. $$ すなわち, $$ e^y = x\pm\sqrt{x^2+1}. $$ ところが, 任意の実数 $x$, $y$ に対して, \begin{align*} &e^y > 0, \\ &x - \sqrt{x^2+1} < x - \sqrt{x^2} = x - \lvert x\rvert \leq 0, \\ &x + \sqrt{x^2+1} > x + \sqrt{x^2} = x + \lvert x\rvert \geq 0. \end{align*} ゆえに, $$ e^y = x + \sqrt{x^2+1}. $$ したがって, $$ y = \log(x + \sqrt{x^2+1}). $$

最終更新日：2011年11月02日