次の等式を証明せよ. \begin{equation*} \begin{split} &\tanh{x} = \frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}, \\ &1-\tanh^2{x}=\frac{1}{\cosh^2{x}}. \end{split} \end{equation*}
解答例 1
まず, \begin{align*} \tanh{x} &= \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} = \frac{(e^{x} - e^{-x})/2}{(e^{x} + e^{-x})/2} \\ &= \frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}. \end{align*} 次に, $\cosh^2{x} - \sinh^2{x} = 1$ の両辺を $\cosh^2{x}$ で割ると, $$ 1 - \frac{\sinh^2{x}}{\cosh^2{x}} = \frac{1}{\cosh^2{x}}. $$ これと $\tanh{x}=\sinh{x}/\cosh{x}$ とを合わせれば, 求める等式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日