$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$, $(B_{\mu}\mid \mu\in M)$ を集合系とするとき, \begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times \left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcup_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}) \\ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times \left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcap_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times \left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\times \left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right)\right) \\ &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(\bigcup_{\mu\in M}(A_{\lambda}\times B_{\mu})\right) \\ &= \bigcup_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}). \end{align*} ここで, 最後の等式は, \begin{align*} & x \in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(\bigcup_{\mu\in M}(A_{\lambda}\times B_{\mu})\right) \\ & \Longleftrightarrow \mbox{ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して, $\displaystyle x\in \bigcup_{\mu\in M}(A_{\lambda}\times B_{\mu})$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{ある $\lambda\in\Lambda$, $\mu\in M$ が存在して, $x\in A_{\lambda}\times B_{\mu}$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{ある $(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M$ が存在して, $x\in A_{\lambda}\times B_{\mu}$} \\ & \Longleftrightarrow x\in \bigcup_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}) \end{align*} より得られる. 次に, \begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times \left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right) &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\times \left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right)\right) \\ &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(\bigcap_{\mu\in M}(A_{\lambda}\times B_{\mu})\right) \\ &= \bigcap_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}). \end{align*} ここで, 最後の等式は, \begin{align*} & x \in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(\bigcap_{\mu\in M}(A_{\lambda}\times B_{\mu})\right) \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $\displaystyle x\in \bigcap_{\mu\in M}(A_{\lambda}\times B_{\mu})$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $\lambda\in\Lambda$, $\mu\in M$ に対して, $x\in A_{\lambda}\times B_{\mu}$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M$ に対して, $x\in A_{\lambda}\times B_{\mu}$} \\ & \Longleftrightarrow x\in \bigcap_{(\lambda, \mu)\in\Lambda\times M}(A_{\lambda}\times B_{\mu}) \end{align*} より得られる.
最終更新日：2011年11月02日