$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, \begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B), \\ B \times \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(B\times A_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
1番目の等式のみ証明する. 2番目の等式も同様にして証明できる.
任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $$ A_{\lambda}\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} $$ であるから, $$ A_{\lambda}\times B\subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B. $$ したがって, $$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B)\subseteq \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B. $$
逆に, $\displaystyle (x, y)\in \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\times B$ とすると, $\displaystyle x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ かつ $y\in B$. 前者より, ある $\lambda_0\in\Lambda$ が存在して, $x\in A_{\lambda_0}$. ゆえに, $$ (x, y)\in A_{\lambda_0}\times B\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\times B). $$ よって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日