解答例 1

半開区間 $(0, 1]$ は $\mathbb{R}$ と対等である.

また, $\mathbb{N}$ の有限部分集合の全体からなる集合を $\mathcal{A}$ とし, 無限部分集合の全体からなる集合を $\mathcal{B}$ とすると, $\mathcal{A}$ は可算集合なので, $\mathfrak{P}(\mathbb{N}) = \mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ は $\mathcal{B}$ と対等である.

したがって, $(0, 1]$ と $\mathcal{A}$ とが対等であることをいえばよい.

$(0, 1]$ に属する全ての実数は, $2$ 進数による無限小数で一意的に表すことができる. ただし, 有限小数については, 例えば $$ 0.011 = 0.010111\cdots $$ のように, $1$ が無限に続く無限小数で表すものとする.

写像 $f:(0, 1]\rightarrow\mathcal{A}$ を, $(0, 1]$ の元 $$ x = 0.a_0a_1a_2\cdots\quad (\mbox{$a_i$ は $0$ または $1$}) $$ に対して, $\mathbb{N}$ の無限部分集合 $$ f(x) = \{ n\in\mathbb{N} \mid a_n=1 \} $$ を対応させることによって定める. 任意の $x$, $y\in (0, 1]$ に対して, \begin{align*} x &= 0.a_0a_1a_2\cdots, \\ y &= 0.b_0b_1b_2\cdots \end{align*} と $2$ 進数の無限小数で表せば, 小数による表し方の一意性により, \begin{align*} f(x) = f(y) &\Longrightarrow \{ n\in\mathbb{N} \mid a_n=1 \} = \{ n\in\mathbb{N} \mid b_n=1 \} \\ &\Longrightarrow a_n=b_n\,(n=0, 1, 2, \ldots) \\ &\Longrightarrow x = y. \end{align*} ゆえに, $f$ は単射である. また, 任意の $A\in\mathcal{A}$ に対して, $$ \chi_A: \mathbb{N}\longrightarrow \{0, 1\},\quad x\longmapsto\begin{cases} 1, & x\in A \\ 0, & x\in \mathbb{N}\setminus A \end{cases} $$ を $\mathbb{N}$ における $A$ の定義関数とし, 各 $n\in\mathbb{N}$ に対して $a_n=\chi_A(n)$ とおけば, $$ f(0.a_0a_1a_2\cdots) = \{ n\in\mathbb{N}\mid a_n=1 \} = \{ n\in\mathbb{N}\mid \chi_A(n)=1 \} = A. $$ ゆえに, $f$ は全射である. したがって, $f$ は全単射となり, $(0, 1]$ は $\mathcal{A}$ と対等である.

最終更新日：2011年11月02日