解答例 1

写像 $f:[0, 1]\rightarrow (0, 1)$ を $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{2}, & x=0 \\ \displaystyle\frac{x}{4}, & \displaystyle x=\frac{1}{2^n}\,(n=0, 1, 2, \ldots) \\ x, & \displaystyle x\neq 0, \frac{1}{2^n}\,(n=0, 1, 2, \ldots) \end{cases} $$ によって定め, 写像 $g:(0, 1)\rightarrow [0, 1]$ を $$ g(x) = \begin{cases} 0, & \displaystyle x=\frac{1}{2} \\ 4x, & \displaystyle x=\frac{1}{2^n}\,(n=2, 3, 4, \ldots) \\ x, & \displaystyle x\neq \frac{1}{2^n}\,(n=1, 2, 3, \ldots) \end{cases} $$ によって定めると, $g$ は $f$ の逆写像である. ゆえに, $f$ は全単射である.

最終更新日：2011年11月02日