$z = f(x, y)$, $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$ がすべて $C^2$ 級のとき, $$ \frac{d^2z}{dt^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + 2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial z}{\partial x}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{d^2y}{dt^2} $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
合成関数の偏微分の公式 $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} $$ の両辺を $t$ で微分すると, \begin{equation} \frac{d^2z}{dt^2} = \left(\frac{d}{dt}\frac{\partial z}{\partial x}\right)\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial x}\frac{d^2x}{dt^2} + \left(\frac{d}{dt}\frac{\partial z}{\partial y}\right)\frac{dy}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{d^2y}{dt^2}. \tag{1} \end{equation} 一方, 合成関数の偏微分の公式より, \begin{align*} \frac{d}{dt}\frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dy}{dt}, \\ \frac{d}{dt}\frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\frac{dy}{dt}. \end{align*} これらを (1) に代入すれば, 求める等式が得られる.
最終更新日：2011年11月02日