解答例 1

$\alpha$ を実数とし, $$ \alpha = m.c_1c_2\cdots c_pd_1d_2\cdots d_qd_1d_2\cdots d_q\cdots $$ のように循環小数で表されるとすると, \begin{align*} \alpha &= \lim_{n\to\infty}\left( m + \sum_{i=1}^{p}\frac{c_i}{10^i} + \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{10^{p+qk}}\left(\sum_{j=1}^{q}\frac{d_j}{10^j} \right) \right) \\ &= m + \sum_{i=1}^{p}\frac{c_i}{10^i} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{10^{p+qk}}\left(\sum_{j=1}^{q}\frac{d_j}{10^j} \right) \\ &= m + \sum_{i=1}^{p}\frac{c_i}{10^i} + \sum_{j=1}^{q}\frac{d_j}{10^j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{10^{p+qk}}. \end{align*} 一方, $$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{10^{p+qk}} = \frac{1}{10^p}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{10^q}\right)^k = \frac{1}{10^p}\cdot\frac{1}{\displaystyle 1-\frac{1}{10^q}} $$ は有理数である. したがって, $\alpha$ も有理数である.

最終更新日：2011年11月02日