解答例 1

実数 $x$ に対し, $x$ を超えない最大の整数を $\lfloor x\rfloor$ で表す.

$\alpha$ を実数とする. $\alpha<0$ の場合は, $\lvert \alpha\rvert$ を小数で表示したものにマイナス符号を付ければよいから, $\alpha\geq 0$ の場合のみ示せば十分である.

$\alpha$ に対し, \begin{alignat*}{2} a_1 &= 10(\alpha-\lfloor \alpha\rfloor), &\quad &d_1=\lfloor a_1\rfloor \\ a_2 &= 10(a_1-\lfloor a_1\rfloor), &\quad &d_2=\lfloor a_2\rfloor, \\ a_3 &= 10(a_2-\lfloor a_2\rfloor), &\quad &d_3=\lfloor a_3\rfloor, \\ & \cdots\cdots && \\ a_n &= 10(a_{n-1}-\lfloor a_{n-1}\rfloor), &\quad &d_n=\lfloor a_n\rfloor, \\ a_{n+1} &= 10(a_n-\lfloor a_n\rfloor), &\quad &d_{n+1}=\lfloor a_{n+1}\rfloor, \\ & \cdots\cdots && \end{alignat*} と定めると, $$ 0\leq d_n<10\quad (n=1, 2, \ldots) $$ であり, \begin{align*} \alpha - \left( \lfloor \alpha\rfloor + \sum_{k=1}^n\frac{d_k}{10^k} \right) &= \frac{a_1-d_1}{10} - \sum_{k=2}^n\frac{d_k}{10^k} \\ &= \frac{a_2-d_2}{10^2} - \sum_{k=3}^n\frac{d_k}{10^k} \\ &= \cdots\cdots \\ &= \frac{a_n-d_n}{10^n}. \end{align*} 一方, $$ 0\leq \frac{a_n-d_n}{10^n} < \frac{1}{10^n} $$ であるから, $$ 0\leq \alpha - \left( \lfloor \alpha\rfloor + \sum_{k=1}^n\frac{d_k}{10^k} \right) < \frac{1}{10^n}. $$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}=0$ であるから, \begin{align*} 0 &= \lim_{n\to\infty}\left(\alpha - \left( \lfloor \alpha\rfloor + \sum_{k=1}^n\frac{d_k}{10^k} \right)\right) \\ &= \alpha - \left( \lfloor \alpha\rfloor + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_k}{10^k}\right). \end{align*} ゆえに, $$ \alpha = \lfloor \alpha\rfloor + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{d_k}{10^k}. $$ したがって, $\alpha$ の整数部分を $m=\lfloor \alpha\rfloor$ として, $$ \alpha = m.d_1d_2d_3\cdots $$ のように $\alpha$ を小数で表すことができる. なお, ある番号より先の $d_n$ がすべて $0$ の場合が有限小数であり, そうでない場合が無限小数である.

最終更新日：2011年11月02日