解答例 1

$\displaystyle 0.999\cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n}$ である. その第 $n$ 部分和 $S_n$ は \begin{align*} S_n &= \sum_{k=1}^n\frac{9}{10^k} = 9\cdot\sum_{k=1}^n\frac{1}{10^k} \\ &= 9\cdot\frac{\displaystyle \frac{1}{10}-\frac{1}{10^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{10}} \\ &= 1 - \frac{1}{10^n} \end{align*} であるから, $$ 0.999\cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n} = \lim_{n\to\infty}S_n = 1. $$

最終更新日：2011年11月02日