解答例 1

背理法により証明する. もし仮に $\sqrt{2}$ が有理数であるとすれば, 既約分数として表せる. すなわち, ある整数 $m$, $n$ が存在して, $$ \sqrt{2} = \frac{m}{n},\quad n\neq 0,\quad \gcd(m, n) = 1. $$ 1番目の式の両辺に $n$ を掛け, さらに両辺を $2$ 乗すると, \begin{equation} 2n^2 = m^2. \tag{1} \end{equation} よって, $2$ は $m^2$ を割る. $2$ は素数だから, $m$ を割る. したがって, ある整数 $m_1$ が存在して, $m=2m_1$ となる. これを $(1)$ に代入すると, $$ 2n^2 = 4m_1^2. $$ 両辺を $2$ で割ると, $$ n^2 = 2m_1^2. $$ よって, $2$ は $n^2$ を割る. $2$ は素数だから, $n$ を割る. ゆえに, $2$ は $m$, $n$ の公約数である. これは $\gcd(m, n)=1$ に矛盾する.

最終更新日：2011年11月02日