任意の $\mathbb{C}$ 上の正方行列 $A$ に対して, ある Hermite 行列 $B$ と交代 Hermite 行列 $C$ が一意的に存在して, $A=B+C$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$B$ を Hermite 行列, $C$ を交代 Hermite 行列とし, \begin{equation} A = B + C \tag{1} \end{equation} が成り立つとすると, \begin{equation} B^* = B,\quad C^* = -C \tag{2} \end{equation} より, \begin{equation} A^* = (B+C)^* = B^*+C^* = B-C. \tag{3} \end{equation} (1), (3) を $B$, $C$ について解くと, ただ1つの解 \begin{equation} B = \frac{1}{2}(A+A^*),\quad C = \frac{1}{2}(A-A^*) \tag{4} \end{equation} が得られる. 逆に, (4) の $B$, $C$ は (1), (2) を満たす.
最終更新日：2011年11月02日