解答例 1

$AB$ が Hermite 行列であるとする. $A=[a_{ij}]$, $B=[b_{ij}]$ とおくと, $$ AB = \left[ \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} \right],\quad BA = \left[ \sum_{k=1}^nb_{ik}a_{kj} \right] $$ である. $A$, $B$, $AB$ が Hermite 行列であることを用いると, 各 $(i, j)$ について, \begin{align*} \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} &= \overline{\sum_{k=1}^na_{jk}b_{ki}} = \sum_{k=1}^n\overline{a_{jk}}\,\overline{b_{ki}} \\ &= \sum_{k=1}^na_{kj}b_{ik} = \sum_{k=1}^nb_{ik}a_{kj}. \end{align*} ゆえに, $AB=BA$.

逆に, $AB=BA$ とすると, $$ (AB)^* = B^*A^* = BA = AB. $$ ゆえに, $AB$ は Hermite 行列である.

最終更新日：2011年11月02日