$A$, $B$ を $\mathbb{R}$ 上の $n$ 次行列とするとき, $A+\sqrt{-1}B$ がユニタリ行列であるための必要十分条件は, $\begin{bmatrix} A & -B \\ B & A\end{bmatrix}$ が直交行列であることを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} & (A+\sqrt{-1}B)^*(A+\sqrt{-1}B) = E \\ & \Longleftrightarrow (A^*-\sqrt{-1}B^*)(A+\sqrt{-1}B) = E \\ & \Longleftrightarrow ({}^t\!A - \sqrt{-1}{}^t\!B)(A+\sqrt{-1}B) = E \\ & \Longleftrightarrow ({}^t\!AA+{}^t\!BB) + \sqrt{-1}({}^t\!AB+{}^t\!BA) = E \\ & \Longleftrightarrow {}^t\!AA+{}^t\!BB = E,\quad {}^t\!AB+{}^t\!BA = O \\ & \Longleftrightarrow \begin{bmatrix} {}^t\!A & {}^t\!B \\ -{}^t\!B & {}^t\!A\end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & -B \\ B & A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E & O \\ O & E \end{bmatrix} \\ & \Longleftrightarrow \Biggm.^t\!\begin{bmatrix} A & -B \\ B & A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & -B \\ B & A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E & O \\ O & E \end{bmatrix}. \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日