解答例 1

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ を絶対収束する級数とする. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert$ が収束することから, Cauchy の判定条件により, 任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して, ある番号 $N$ が存在して, $m>n\geq N$ を満たす全ての番号 $m$, $n$ に対して, $$ \bigl\lvert \lvert a_{n+1}\rvert + \lvert a_{n+2}\rvert + \cdots + \lvert a_m\rvert \bigr\rvert < \varepsilon $$ が成り立つ. このとき, \begin{align*} &\lvert a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m\rvert \\ &\qquad \leq \lvert a_{n+1}\rvert + \lvert a_{n+2}\rvert + \cdots + \lvert a_m\rvert \\ &\qquad = \bigl\lvert \lvert a_{n+1}\rvert + \lvert a_{n+2}\rvert + \cdots + \lvert a_m\rvert \bigr\rvert \\ &\qquad < \varepsilon \end{align*} となるから, 再び Cauchy の判定条件により, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ は収束する.

最終更新日：2011年11月02日