解答例 1

$x>0$ のとき, $a>0$, $b>0$ より \begin{equation} \left(\frac{a^x}{b}+\frac{b^x}{a}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{a}{b^{\frac{1}{x}}}\left( 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^{x+1} \right)^{\frac{1}{x}}. \tag{1} \end{equation} また, $b>0$ より, \begin{equation} b^{\frac{1}{x}} \to 1\quad (x\to\infty). \tag{2} \end{equation} さらに, $b < a$ より $\lvert b/a \rvert < 1$ であるから, $$ \left(\frac{b}{a}\right)^{x+1} \to 0\quad (x\to\infty). $$ よって, $0<\varepsilon<1$ を満たす実数 $\varepsilon$ を任意にとると, ある実数 $M>0$ が存在して, $x>M$ を満たす任意の実数 $x$ に対して, $$ -\varepsilon < \left(\frac{b}{a}\right)^{x+1} < \varepsilon $$ が成り立つ. 各辺に $1$ を加えると, $$ 1 - \varepsilon < 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^{x+1} < 1 + \varepsilon. $$ $x>0$ を固定するとき, $u^{\frac{1}{x}}$ は $u$ に関する増加関数だから, $$ (1-\varepsilon)^{\frac{1}{x}} < \left( 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^{x+1} \right)^{\frac{1}{x}} < (1+\varepsilon)^{\frac{1}{x}}. $$ 両端の辺は $x\to\infty$ のとき $1$ に収束するから, $$ \left( 1 + \left(\frac{b}{a}\right)^{x+1} \right)^{\frac{1}{x}} \to 1 \quad (x\to\infty). $$ このことと (2) より, (1) は $x\to\infty$ のとき $a$ に収束する.

最終更新日：2011年11月02日