解答例 1

$t>0$ のとき, \begin{align*} \left( 1-\frac{1}{t+1} \right)^{-(t+1)} &= \left( \frac{t}{t+1} \right)^{-(t+1)} \\ &= \left( \frac{t+1}{t} \right)^{t+1} \\ &= \left( 1+\frac{1}{t} \right)^{t+1}. \end{align*} ゆえに, $y=-x$, $t=y-1$ とおくと, \begin{align*} \lim_{x\to-\infty}\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x} &= \lim_{y\to\infty}\left( 1-\frac{1}{y} \right)^{-y} \\ &= \lim_{t\to\infty}\left( 1-\frac{1}{t+1} \right)^{-(t+1)} \\ &= \lim_{t\to\infty}\left( 1+\frac{1}{t} \right)^{t+1} \\ &= \lim_{t\to\infty}\left( 1+\frac{1}{t} \right)^{t}\cdot\lim_{t\to\infty}\left( 1+\frac{1}{t} \right) \\ &= e\cdot 1 = e. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日