解答例 1

任意の実数 $x>1$ に対して, $m(x)$ を $x$ を超えない最大の整数とすると, $$ m(x) \leq x < m(x) + 1 $$ であるから, \begin{equation} \left( 1 + \frac{1}{m(x)+1} \right)^{m(x)} \leq \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \leq \left( 1 + \frac{1}{m(x)} \right)^{m(x)+1}. \tag{1} \end{equation} 実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. 数列の極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$ より, $$ \lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} = \lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\left( 1 + \frac{1}{n} \right) = e. $$ よって, ある整数 $N_1>0$ が存在して, $n\geq N_1$ を満たす全ての整数 $n$ に対して, $$ \left\lvert\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} - e\right\rvert < \varepsilon. $$ すなわち, \begin{equation} e - \varepsilon < \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} < e + \varepsilon. \tag{2} \end{equation} 同様に, $$ \lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^n = \lim_{n\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-1} = e. $$ よって, ある整数 $N_2>0$ が存在して, $n\geq N_2$ を満たす全ての整数 $n$ に対して, $$ \left\lvert\left( 1 + \frac{1}{n+1}\right)^n - e\right\rvert < \varepsilon. $$ すなわち, \begin{equation} e - \varepsilon < \left( 1 + \frac{1}{n+1}\right)^n < e + \varepsilon. \tag{3} \end{equation} $N=\max\{N_1, N_2\}$ とおく. $x>N$ を満たす任意の実数 $x$ に対して, $m(x)$ の定め方より $m(x)\geq N$ であるから, (1), (2), (3) より $$ e - \varepsilon < \left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x < e + \varepsilon. $$ すなわち, $$ \left\lvert\left( 1 + \frac{1}{x}\right)^x - e\right\rvert < \varepsilon. $$ したがって, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$.

最終更新日：2011年11月02日