$x$, $y$ を実数とするとき, 不等式 \begin{equation} \lvert x\rvert - \lvert y\rvert\leq \lvert x-y\rvert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
三角不等式より \begin{equation} \lvert x\rvert = \lvert (x-y)+y\rvert \leq \lvert x-y\rvert+\lvert y\rvert \tag{1} \end{equation} であるから, ($*$) が得られる.
($*$) において等号が成立するのは, (1) で三角不等式を適用した部分において等号が成り立つとき, したがって $(x-y)y\geq 0$ のときである.
最終更新日：2011年11月02日