解答例 1

\begin{align*} \lvert x+y\rvert^2 &= (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, \\ (\lvert x\rvert+\lvert y\rvert)^2 &= \lvert x\rvert^2+2\lvert x\rvert\lvert y\rvert+\lvert y\rvert^2 = x^2 + 2\lvert xy\rvert + y^2 \end{align*} であるから, \begin{equation} (\lvert x\rvert+\lvert y\rvert)^2 -\lvert x+y\rvert^2 = 2\bigl(\lvert xy\rvert - xy\bigr) \geq 0. \tag{1} \end{equation} ゆえに, $$ \lvert x+y\rvert^2 \leq (\lvert x\rvert+\lvert y\rvert)^2. $$ $\lvert x+y\rvert\geq 0$, $\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\geq 0$ であるから, ($*$) が成り立つ.

不等式 ($*$) における等号成立条件は, (1) において等号が成り立つこと, したがって $\lvert xy\rvert=xy$ であり, これは $xy\geq 0$ と同値である.

解答例 2

$x\leq \lvert x \rvert$, $y\leq \lvert y \rvert$ より $$ x+y \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert. $$ また, $-x\leq \lvert x \rvert$, $-y\leq \lvert y \rvert$ より $$ -(x+y) \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert. $$ $\lvert x+y \rvert$ は $x+y$ か $-(x+y)$ のどちらかに等しい. よって $$ \lvert x+y \rvert \leq \lvert x \rvert + \lvert y \rvert. $$ となる.

最終更新日：2011年11月02日