解答例 1

$a\in\mathbb{Z}$ に対して, 写像 $f_a:\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ を, 各 $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ f_a(x+m\mathbb{Z}) = \frac{ax}{m}+\mathbb{Z} $$ とおくことによって定める. $f_a$ は well-defined である. 実際, 任意の $x$, $x'\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} x\equiv x'\;(\mathrm{mod}\;m) &\Rightarrow \left( \frac{ax}{m} + \mathbb{Z} \right) - \left(\frac{ax'}{m} + \mathbb{Z} \right) = \frac{a(x-x')}{m}+\mathbb{Z} = 0 + \mathbb{Z} \\ &\Rightarrow f_{a}(x+m\mathbb{Z}) = f_{a}(x'+m\mathbb{Z}). \end{align*}

任意の $x$, $y\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} f_{a}((x+m\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z})) &= f_{a}((x+y)+m\mathbb{Z}) = \frac{a(x+y)}{m}+\mathbb{Z} \\ &= \left(\frac{ax}{m}+\mathbb{Z}\right)+\left(\frac{ay}{m}+\mathbb{Z}\right) \\ &= f_{a}(x+m\mathbb{Z}) + f_{a}(y+m\mathbb{Z}), \\ f_{a}(r\cdot(x+m\mathbb{Z})) &= f_{a}(rx+n\mathbb{Z}) = \frac{a(rx)}{m} + n\mathbb{Z} = r\cdot\left(\frac{ax}{m} + n\mathbb{Z}\right) \\ &= r\cdot f(x+m\mathbb{Z}). \end{align*} したがって, $f_{a}$ は $\mathbb{Z}$ 準同型であり, 写像 $$ \varphi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \quad a\mapsto f_{a} $$ が定まる.

任意の $a$, $b$, $x$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} (\varphi(a)\ + \varphi(b))(x+m\mathbb{Z}) &= f_{a}(x+m\mathbb{Z})\ + f_{b}(x+m\mathbb{Z}) \\ &= \left(\frac{ax}{m}+\mathbb{Z}\right) + \left(\frac{bx}{m}+\mathbb{Z}\right) = \frac{(a+b)x}{m}+\mathbb{Z} \\ &= \varphi(a+b)(x+m\mathbb{Z}), \\ (r\cdot\varphi(a))(x+m\mathbb{Z}) &=r\cdot f_{a}(x+m\mathbb{Z}) = \frac{rax}{m}+\mathbb{Z} \\ &= \varphi(ra). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である.

$f\in\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ とする. ある $y\in\mathbb{Q}$によって$f(1+m\mathbb{Z}) = y + \mathbb{Z}$ と書ける. このとき, \begin{align*} my+\mathbb{Z} &= m\cdot (y+\mathbb{Z}) = m\cdot f(1+m\mathbb{Z}) \\ &= f(m+m\mathbb{Z}) = f(0+m\mathbb{Z}) \\ &= 0 + \mathbb{Z}. \end{align*} ゆえに, $my\in\mathbb{Z}$. そこで, $a=my$ とおくと, 任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して \begin{align*} f(x+m\mathbb{Z}) &= x\cdot f(1+m\mathbb{Z}) = x\cdot (y + \mathbb{Z}) \\ &= xy + \mathbb{Z} = \frac{ax}{m}+\mathbb{Z} \\ &= f_{a}(x+m\mathbb{Z}). \end{align*} すなわち, $f=f_{a}=\varphi(a)$. よって, $\varphi$ は全射である.

さらに, \begin{align*} a\in\mathrm{Ker}(\varphi) & \Leftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $f_{a}(x+m\mathbb{Z})=0+\mathbb{Z}$} \\ & \Leftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $\displaystyle\frac{ax}{m}+\mathbb{Z}=0+\mathbb{Z}$} \\ & \Leftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $\displaystyle\frac{ax}{m}\in\mathbb{Z}$} \\ & \Leftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $ax\in m\mathbb{Z}$} \\ & \Leftrightarrow a\in m\mathbb{Z}. \end{align*} ゆえに, $\mathrm{Ker}(\varphi)=m\mathbb{Z}$.

したがって, 準同型定理により, 同型 $$ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \quad a+m\mathbb{Z}\mapsto f_{a} $$ が得られる.

最終更新日：2011年11月02日