解答例 1

$\zeta$ を $1$ の原始 $m$ 乗根とする. $a\in\mathbb{Z}$ に対して, 写像 $f_a:\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{C}^{\times}$ を, 各 $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ f_a(x+m\mathbb{Z}) = \zeta^{ax} $$ とおくことによって定める. $f_a$ は well-defined である. 実際, $\zeta^m = 1$ より, 任意の $x$, $x'\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ x\equiv x'\;(\mathrm{mod}\;m) \Rightarrow f_a(x+m\mathbb{Z}) = \zeta^{ax} = \zeta^{ax'} = f_a(x'+m\mathbb{Z}). $$

任意の$x$, $y$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} f_{a}((x+m\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z})) &= f_{a}((x+y)+m\mathbb{Z}) = \zeta^{a(x+y)} = \zeta^{ax}\cdot\zeta^{ay} \\ &= f_{a}(x+m\mathbb{Z})\cdot f_{a}(y+m\mathbb{Z}), \\ f_{a}(r\cdot(x+m\mathbb{Z})) &= f_{a}(rx+n\mathbb{Z}) = \zeta^{a(rx)} = (\zeta^{ax})^r \\ &= f(x+m\mathbb{Z})^r. \end{align*} したがって, $f_{a}$ は $\mathbb{Z}$ 準同型であり, 写像 $$ \varphi:\mathbb{Z}\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{C}^{\times}), \quad a\mapsto f_{a} $$ が定まる.

任意の $a$, $b$, $x$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} (\varphi(a)\cdot\varphi(b))(x+m\mathbb{Z}) &= f_{a}(x+m\mathbb{Z})\cdot f_{b}(x+m\mathbb{Z}) = \zeta^{ax}\cdot\zeta^{bx} = \zeta^{(a+b)x} \\ &= \varphi(a+b)(x+m\mathbb{Z}), \\ \varphi(a)^r(x+m\mathbb{Z}) &=f_{a}(x+m\mathbb{Z})^r = (\zeta^{ax})^r = \zeta^{rax} \\ &= \varphi(ra). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である.

$f\in\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{C}^{\times})$ とすると, $$ f(1+m\mathbb{Z})^m = f(m+m\mathbb{Z}) = f(0+m\mathbb{Z}) = 1. $$ よって, $f(1+m\mathbb{Z})$ は $1$ の $m$ 乗根であるから, ある整数 $a\in\mathbb{Z}$ が存在して, $f(1+m\mathbb{Z})=\zeta^{a}$ と書ける. さらに, 任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ f(x+m\mathbb{Z}) = f(1+m\mathbb{Z})^x = \zeta^{ax} = f_{a}(x+m\mathbb{Z}). $$ すなわち, $f=f_{a}=\varphi(a)$. ゆえに, $\varphi$ は全射である.

さらに, \begin{align*} a\in\mathrm{Ker}(\varphi) & \Leftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $f_{a}(x+m\mathbb{Z})=1$} \\ & \Leftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $\zeta^{ax}=1$} \\ & \Leftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $ax\in m\mathbb{Z}$} \\ & \Leftrightarrow a\in m\mathbb{Z}. \end{align*} ゆえに, $\mathrm{Ker}(\varphi)=m\mathbb{Z}$.

したがって, 準同型定理により, 同型 $$ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{C}^{\times}), \quad a+m\mathbb{Z}\mapsto f_{a} $$ が得られる.

最終更新日：2011年11月02日