解答例 1

$m=dm'$, $n=dn'$ とおく. また, $\displaystyle H=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z},\,\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\right)$ とおく.

$a\in\mathbb{Z}$ に対して, 写像 $\displaystyle f_a:\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\rightarrow\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ を, 各 $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ f_a\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) = \frac{n'ax}{n}+\mathbb{Z} $$ とおくことによって定める. $f_a$ は well-defined である. 実際, 任意の $x$, $x'\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} x\equiv x'\;(\mathrm{mod}\;m) &\Longrightarrow x\equiv x'\;(\mathrm{mod}\;d) \\ &\Longrightarrow n'a(x-x')\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;n) \\ &\Longrightarrow \frac{n'ax}{n}-\frac{n'ax'}{n} = \frac{n'a(x-x')}{n} \in\mathbb{Z} \\ &\Longrightarrow \frac{n'ax}{n}+\mathbb{Z} = \frac{n'ax'}{n}+\mathbb{Z} \\ &\Longrightarrow f_{a}\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) = f_{a}\left(\frac{x'}{m}+\mathbb{Z}\right). \end{align*}

任意の $x$, $y$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} f_{a}\left(\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right)+\left(\frac{y}{m}+\mathbb{Z}\right)\right) &= f_{a}\left(\frac{x+y}{m}+\mathbb{Z}\right) = \frac{n'a(x+y)}{n}+\mathbb{Z} \\ &= \left(\frac{n'ax}{n}+\mathbb{Z}\right)+\left(\frac{n'ay}{n}+\mathbb{Z}\right) \\ &= f_{a}\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) + f_{a}\left(\frac{y}{m}+\mathbb{Z}\right), \\ f_{a}\left(r\cdot\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right)\right) &= f_{a}\left(\frac{rx}{m}+\mathbb{Z}\right) = \frac{n'a(rx)}{n}+\mathbb{Z} \\ &= r\cdot\left(\frac{n'ax}{n}+\mathbb{Z}\right) \\ &= r\cdot f\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right). \end{align*} したがって, $f_{a}$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である. すなわち, $f_{a}\in H$. これより, 写像 $$ \varphi:\mathbb{Z}\rightarrow H, \quad a\mapsto f_{a} $$ が定まる.

任意の $a$, $b$, $x$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} (\varphi(a)\ + \varphi(b))\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) &= f_{a}\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) + f_{b}\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) \\ &= \left(\frac{n'ax}{n}+\mathbb{Z}\right) + \left(\frac{n'bx}{n}+\mathbb{Z}\right) = \frac{n'(a+b)x}{n}+\mathbb{Z} \\ &= \varphi(a+b)\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right), \\ (r\cdot\varphi(a))\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) &=r\cdot f_{a}\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) = r\cdot\left(\frac{n'ax}{n}+\mathbb{Z}\right) \\ &=\frac{r(n'ax)}{n}+\mathbb{Z} = \frac{n'(ra)x}{n}+\mathbb{Z} \\ &=\varphi(ra). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である.

$f\in H$ とする. ある $y\in\mathbb{Z}$ によって $\displaystyle f\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right)=y+n\mathbb{Z}$ と書ける. このとき, \begin{align*} \frac{my}{n}+\mathbb{Z} &= m\cdot\left(\frac{y}{n}+\mathbb{Z}\right) = m\cdot f\left(\frac{1}{m}+\mathbb{Z}\right) \\ &= f\left(\frac{m}{m}+\mathbb{Z}\right) = f(0+\mathbb{Z}) \\ &= 0+\mathbb{Z}. \end{align*} さらに, $$ \frac{my}{n}+\mathbb{Z} = 0+\mathbb{Z} \Longrightarrow my\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;n) \Longrightarrow m'y\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;n'). $$ よって, ある $a\in\mathbb{Z}$ が存在して, $m'y=n'a$ と書ける. $\gcd(m',n')=1$ だから, $m'$ は $a$ を割る. $a=m'a'$ とおくと, $y=n'a'$ となる. このとき, 任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して \begin{align*} f\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right) &= x\cdot f\left(\frac{1}{m}+\mathbb{Z}\right) = x\cdot \left(\frac{y}{n}+\mathbb{Z}\right) \\ &= \frac{xy}{n} + \mathbb{Z} = \frac{n'a'x}{n}\mathbb{Z} \\ &= f_{a'}\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right). \end{align*} すなわち, $f=f_{a'}=\varphi(a')$. ゆえに, $\varphi$ は全射である.

さらに, \begin{align*} a\in\mathrm{Ker}(\varphi) & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $\displaystyle f_{a}\left(\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\right)=0+n\mathbb{Z}$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $\displaystyle \frac{n'ax}{n}+\mathbb{Z}=0+n\mathbb{Z}$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $\displaystyle \frac{ax}{d}=\frac{n'ax}{n}\in\mathbb{Z}$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $ax\in d\mathbb{Z}$} \\ & \Longleftrightarrow a\in d\mathbb{Z}. \end{align*} ゆえに, $\mathrm{Ker}(\varphi)=d\mathbb{Z}$.

したがって, 準同型定理により, 同型 $$ \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}\cong\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z},\,\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\right), \quad a+d\mathbb{Z}\mapsto f_{a} $$ が得られる.

解答例 2

$\displaystyle\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}=\left\{\frac{x}{m}+\mathbb{Z}\Bigm| x\in\mathbb{Z}\right\}$ より, 写像 $$ \varphi_{m}:\mathbb{Z}\rightarrow\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}, \quad x\mapsto\frac{x}{m}+\mathbb{Z} $$ は全射である. $\varphi_{m}$ が $\mathbb{Z}$ 加群の準同型であることはすぐに確かめられる. さらに, $$ x\in\mathrm{Ker}(\varphi_{m}) \Longleftrightarrow \frac{x}{m}\in\mathbb{Z} \Longleftrightarrow x\in m\mathbb{Z}. $$ よって, 準同型定理により, $\mathbb{Z}$ 加群の同型 $$ \widetilde{\varphi_{m}}: \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}, \quad x+m\mathbb{Z}\mapsto\frac{x}{m}+\mathbb{Z} $$ が得られる. 同様に, $n$ に対しても, $\mathbb{Z}$ 加群の同型 $$ \widetilde{\varphi_{n}}: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\rightarrow\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}, \quad x+n\mathbb{Z}\mapsto\frac{x}{n}+\mathbb{Z} $$ が得られる. このとき, $$ \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z},\,\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\right) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right), \quad f\mapsto \widetilde{\varphi_{n}}^{-1}\circ f\circ\widetilde{\varphi_{m}} $$ は $\mathbb{Z}$ 加群の同型である. したがって, $$ \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\frac{1}{m}\mathbb{Z}/\mathbb{Z},\,\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\right) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right) \cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}. $$

最終更新日：2011年11月02日