解答例 1

$m=dm'$, $n=dn'$ とおく. また, $H=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ とおく.

$a\in\mathbb{Z}$ に対して, 写像 $f_a:\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を, 各 $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ f_a(x+m\mathbb{Z}) = n'ax+n\mathbb{Z} $$ とおくことによって定める. $f_a$ は well-defined である. 実際, 任意の $x$, $x'\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} x\equiv x'\;(\mathrm{mod}\;m) &\Longrightarrow x\equiv x'\;(\mathrm{mod}\;d) \\ &\Longrightarrow n'a(x-x')\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;n) \\ &\Longrightarrow n'ax\equiv n'ax'\;(\mathrm{mod}\;n) \\ &\Longrightarrow f_{a}(x+m\mathbb{Z}) = f_{a}(x'+m\mathbb{Z}). \end{align*}

任意の $x$, $y$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} f_{a}((x+m\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z})) &= f_{a}((x+y)+m\mathbb{Z}) = n'a(x+y)+n\mathbb{Z} \\ &= \left(n'ax+n\mathbb{Z}\right)+\left(n'ay+n\mathbb{Z}\right) \\ &= f_{a}(x+m\mathbb{Z}) + f_{a}(y+m\mathbb{Z}), \\ f_{a}(r\cdot(x+m\mathbb{Z})) &= f_{a}(rx+n\mathbb{Z}) = n'a(rx) + n\mathbb{Z} \\ &= r\cdot(n'ax+n\mathbb{Z}) \\ &= r\cdot f(x+m\mathbb{Z}). \end{align*} したがって, $f_{a}$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である. すなわち, $f_{a}\in H$. これより, 写像 $$ \varphi:\mathbb{Z}\rightarrow H, \quad a\mapsto f_{a} $$ が定まる.

任意の $a$, $b$, $x$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, \begin{align*} (\varphi(a)\ + \varphi(b))(x+m\mathbb{Z}) &= f_{a}(x+m\mathbb{Z}) + f_{b}(x+m\mathbb{Z}) \\ &= \left(n'ax+n\mathbb{Z}\right) + \left(n'bx+n\mathbb{Z}\right) = n'(a+b)x+n\mathbb{Z} \\ &= \varphi(a+b)(x+m\mathbb{Z}), \\ (r\cdot\varphi(a))(x+m\mathbb{Z}) &=r\cdot f_{a}(x+m\mathbb{Z}) = r\cdot(n'ax+n\mathbb{Z}) \\ &=r(n'ax)+n\mathbb{Z} = n'(ra)x+n\mathbb{Z} \\ &=\varphi(ra). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である.

$f\in H$ とする. ある $y\in\mathbb{Z}$ によって $f(1+m\mathbb{Z})=y+n\mathbb{Z}$ と書ける. このとき, \begin{align*} my+n\mathbb{Z} &= m\cdot(y+n\mathbb{Z}) = m\cdot f(1+m\mathbb{Z}) \\ &= f(m+m\mathbb{Z}) = f(0+n\mathbb{Z}) \\ &= 0+n\mathbb{Z}. \end{align*} さらに, $$ my+n\mathbb{Z} = 0+n\mathbb{Z} \Longrightarrow my\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;n) \Longrightarrow m'y\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;n'). $$ よって, ある $a\in\mathbb{Z}$ が存在して, $m'y=n'a$ と書ける. $\gcd(m',n')=1$ だから, $m'$ は $a$ を割る. $a=m'a'$ とおくと, $y=n'a'$ となる. このとき, 任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して \begin{align*} f(x+m\mathbb{Z}) &= x\cdot f(1+m\mathbb{Z}) = x\cdot (y+n\mathbb{Z}) \\ &= xy+n\mathbb{Z} = n'a'x+n\mathbb{Z} \\ &= f_{a'}(x+m\mathbb{Z}). \end{align*} すなわち, $f=f_{a'}=\varphi(a')$. ゆえに, $\varphi$ は全射である.

さらに, \begin{align*} a\in\mathrm{Ker}(\varphi) & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $f_{a}(x+m\mathbb{Z})=0+n\mathbb{Z}$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $n'ax+n\mathbb{Z}=0+n\mathbb{Z}$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $n'ax\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;n)$} \\ & \Longleftrightarrow \mbox{任意の $x\in\mathbb{Z}$ に対して, $ax\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;d)$} \\ & \Longleftrightarrow a\in d\mathbb{Z}. \end{align*} ゆえに, $\mathrm{Ker}(\varphi)=d\mathbb{Z}$.

したがって, 準同型定理により, 同型 $$ \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}\cong\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},\,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), \quad a+d\mathbb{Z}\mapsto f_{a} $$ が得られる.

解答例 2

$m=m'd$, $n=n'd$, $H=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ とする.

$f\in H$ に対して, $a_f$ を $f(1+m\mathbb{Z})=a_f+n\mathbb{Z}$, $0\leq a_f < n$ によって定めると, \begin{align*} ma_f+n\mathbb{Z} &= m(a_f+n\mathbb{Z}) = mf(1+m\mathbb{Z}) \\ &= f(m+m\mathbb{Z}) = f(0+m\mathbb{Z}) \\ &= 0+n\mathbb{Z}. \end{align*} さらに, $\gcd(m', n')=1$ より, $$ n\mid ma_f \Longrightarrow n'\mid m'a_{f} \Longrightarrow n'\mid a_f. $$ したがって, $a_{f}=n'a_{f}'$ と表せる. このとき, 写像 $\varphi$ を $$ \varphi: H\rightarrow\mathbb{Z}/d\mathbb{Z},\quad f\mapsto a_{f}'+d\mathbb{Z} $$ によって定める.

任意の $f$, $g\in H$ に対して, $$ f=g \Longleftrightarrow a_f\equiv a_g \bmod{n} \Longleftrightarrow a_{f}'\equiv a_{g}' \bmod{d} \Longleftrightarrow \varphi(f)=\varphi(g). $$ ゆえに, $\varphi$ は well-defined かつ単射である.

任意の $f$, $g\in H$, $r\in\mathbb{Z}$ に対して, $$ (f+g)(1)=f(1)+g(1), \quad (rf)(1) = r\cdot f(1) $$ より, \begin{align*} &\varphi(f+g) = (a_{f}'+a_{g}') + d\mathbb{Z} = \varphi(f)+\varphi(g), \\ &\varphi(rf) = (ra_{f}')+d\mathbb{Z} = r\varphi(f). \end{align*} ゆえに, $\varphi$ は $\mathbb{Z}$ 加群の準同型である.

任意の $a\in\mathbb{Z}$ に対して, $f(1+m\mathbb{Z})=n'a+n\mathbb{Z}$ によって $f\in H$ を定めれば, $\varphi(f)=a+d\mathbb{Z}$ が成り立つ. したがって, $\varphi$ は全射である.

以上より, $\varphi$ が $\mathbb{Z}$ 加群の同型であることが示された.

最終更新日：2011年11月02日