$m$, $n$ を $2$ 以上の整数とするとき, $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, n\mathbb{Z})=0$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
もし仮に $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ から $n\mathbb{Z}$ への $\mathbb{Z}$ 準同型 $f$ で $f\neq 0$ なるものが存在すれば, 写像$[n^{-1}]:n\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$, $nx\mapsto x$ は $\mathbb{Z}$ 加群の同型なので, $[n^{-1}]\circ f$ は $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ への $0$ でない準同型写像になる. これは $\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, \mathbb{Z})=0$ に矛盾する.
最終更新日：2011年11月02日