解答例 1

$I$ の点 $a$ を固定する. $I$ の任意の点 $b$ に対して, $b\neq a$ のとき, 平均値の定理 (閉区間 $[a, b]$ または $[b, a]$ に適用) より, ある実数 $\xi$ が存在して, $$ \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(\xi)(b - a) $$ が成り立つ. $f'(x)$ は恒等的に $0$ であるから, $$ \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = 0. $$ ゆえに, $f(b)=f(a)$ となる. この等式は $b=a$ のときも成り立つ. したがって, $f(x)$ は定数である.

最終更新日：2011年11月02日