解答例 1

級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ の第 $n+1$ 項までの部分和を $S_n$ とする: $\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$.

整数 $k\geq 2$ に対して, $$ \frac{1}{k!} = \prod_{i=1}^n\frac{1}{i}\leq \prod_{i=2}^k\frac{1}{2} =\frac{1}{2^{n-1}}. $$ このとき, 整数 $n\geq 1$ に対して, \begin{align*} S_n &= 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \leq 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} \\ &=1+\frac{\displaystyle\biggl. 1-\frac{1}{2^n}}{\displaystyle\biggl. 1-\frac{1}{2}} =3-\frac{1}{2^{n-1}} < 3. \end{align*} よって, 部分和の数列 $(S_n)$ は上に有界である. また, 整数 $n\geq 0$ に対して, $$ S_{n+1} - S_{n} = \frac{1}{(n+1)!} > 0, \quad\mbox{ゆえに},\quad S_{n} < S_{n+1}. $$ よって, $(S_n)$ は単調増加である.

上に有界な単調増加数列は収束するから, $(S_n)$ は収束する. したがって, 級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ は収束する.

解答例 2

極限値 $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n$ が存在することを前提とする.

数列 $(a_n)$, $(b_n)$ を $$ a_n = \biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n,\quad b_n = \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\quad (n=1, 2, \ldots) $$ によって定める.

整数 $n\geq 1$ に対して, 二項定理より, \begin{align} a_n &=\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)^k \notag \\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\biggl(\frac{1}{n}\biggr)^k \notag \\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\frac{n-i}{n} \notag \\ &=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\biggl(1-\frac{i}{n}\biggr). \tag{1} \end{align} $k=1$, $2$, $\ldots$, $n$ に対して $$ \prod_{i=0}^{k-1}\biggl(1-\frac{i}{n}\biggr)\leq 1 $$ であるから, (1) より, \begin{equation} a_n \leq 1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} = b_n. \tag{2} \end{equation} 一方, (1) より, $m>n$なる任意の整数 $m$ に対して \begin{align*} a_m &=1+\sum_{k=1}^m\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\biggl(1-\frac{i}{m}\biggr) \\ &\geq 1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\biggl(1-\frac{i}{m}\biggr) \end{align*} であるから, \begin{align} e&=\lim_{m\to\infty}a_m \notag \\ &\geq \lim_{m\to\infty}\Biggl( 1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}\biggl(1-\frac{i}{m}\biggr) \Biggr) \notag \\ &= 1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1} \lim_{m\to\infty}\biggl(1-\frac{i}{m}\biggr) \notag \\ &= 1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} = b_n. \tag{3} \end{align} (2), (3) より, $$ a_n\leq b_n\leq e. $$ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=e$ であるから, $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \lim_{n\to\infty}b_n = e $$ が得られる.

最終更新日：2011年11月02日