$(a_n)$ を実数列とし, $(\lvert a_n\rvert)$ が $0$ に収束するものとする. このとき, $(a_n)$ も $0$ に収束することを証明せよ.
解答例 1
実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $(\lvert a_n\rvert)$ は $0$ に収束するから, ある番号 $N$ が存在して, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert a_n - 0\rvert = \lvert a_n \rvert = \bigl\lvert \lvert a_n\rvert\bigr\rvert = \bigl\lvert \lvert a_n\rvert - 0\bigr\rvert < \varepsilon $$ が成り立つ. したがって, $(a_n)$ は $0$ に収束する.
最終更新日：2011年11月02日