$a$ を実数とし, $(a_n)$ を $a$ に収束する実数列とする. このとき, $(\lvert a_n\rvert)$ は $\lvert a\rvert$ に収束することを証明せよ.
解答例 1
実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. $(a_n)$ は $a$ に収束するから, ある番号 $N$ が存在して, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \bigl\lvert \lvert a_n\rvert - \lvert a\rvert\bigr\rvert < \lvert a_n - a \rvert < \varepsilon $$ が成り立つ. したがって, $(\lvert a_n\rvert)$ は $\lvert a\rvert$ に収束する.
最終更新日：2011年11月02日