解答例 1

$(a_n)$ を収束する実数列とし, $a$, $b$ を $(a_n)$ の極限値とする.

背理法により証明する. $a\neq b$ とする. $\varepsilon = \lvert a-b\rvert$ とおくと, $\varepsilon>0$ である.

ある番号 $N_1$ が存在して, $n\geq N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert a_n-a\rvert < \frac{\varepsilon}{2}. $$ 同様に, ある番号 $N_2$ が存在して, $n\geq N_2$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert a_n-b\rvert < \frac{\varepsilon}{2}. $$ $N=\max\{ N_1, N_2 \}$ とおくと, \begin{align*} \varepsilon &= \lvert a-b \rvert = \lvert (a-a_N) + (a_N-b)\rvert \\ &\leq \lvert a-a_N \rvert + \lvert a_N-b\rvert < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \end{align*} ゆえに, $\varepsilon < \varepsilon$. これは矛盾である.

したがって, $a=b$ でなければならない.

最終更新日：2011年11月02日