解答例 1

もし仮に $\displaystyle\alpha=\lim_{n\to\infty}(-1)^n$ が存在したとすると, 任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して, ある番号 $N$ が存在して, $n\geq N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert (-1)^{n} - \alpha\rvert < \varepsilon $$ が成り立つ.

特に, $\varepsilon = 1$ に対して, ある番号 $N$ が存在して, $$ \lvert (-1)^{N} - \alpha\rvert < 1 \quad\mbox{かつ}\quad \lvert (-1)^{N+1} - \alpha\rvert < 1 $$ が成り立つ. $(-1)^N - (-1)^{N+1} = \pm 2$ であるから, \begin{align*} 2 &= \lvert (-1)^{N} - (-1)^{N+1}\rvert \\ &= \bigl\lvert \bigl((-1)^{N} - \alpha\bigr) + \bigl(\alpha - (-1)^{N+1}\bigr)\bigr\rvert \\ &\leq \lvert (-1)^{N} - \alpha\rvert + \lvert \alpha - (-1)^{N+1}\rvert \\ &< 1 + 1 = 2. \end{align*} よって, $2<2$. これは矛盾である.

最終更新日：2011年11月02日