解答例 1

$(a_n)$ を収束する実数列とし, $\displaystyle a = \lim_{n\to\infty}a_n$ とおく.

$\varepsilon>0$ を任意に1つとると, ある番号 $N$ が存在して, $n\geq N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert a_n\rvert - \lvert a\rvert \leq \lvert a_n-a\rvert < \varepsilon, \quad\mbox{ゆえに, }\quad \lvert a_n\rvert < \lvert a\rvert + \varepsilon $$ が成り立つ.

したがって, $\lvert a_1\rvert$, $\lvert a_2\rvert$, $\ldots$, $\lvert a_{N-1}\rvert$, $\lvert a\rvert+\varepsilon$ のうち最大の実数を $M$ とおくと, すべての番号 $n$ に対して $\lvert a_n\rvert \leq M$ が成り立つ. すなわち, 数列 $(a_n)$ は有界である.

最終更新日：2011年11月02日