$R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の準同型写像とする. また, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $f(N)$ は $M'$ の部分左 $R$ 加群であることを証明せよ.
解答例 1
$N$ は $M$ の部分左 $R$ 加群なので, 任意の $x$, $y\in N$, $r\in R$ に対して, $x-y$, $rx\in N$. よって, \begin{align*} &f(x)-f(y) = f(x-y) \in f(N), \\ &r\cdot f(x) = f(rx)\in f(N). \end{align*} ゆえに, $f(N)$ は $M'$ の部分左 $R$ 加群である.
最終更新日：2011年11月02日