$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群, $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分 $R$ 加群からなる集合系とする. このとき, $$ N:\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}\right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N:L_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} a\in N:\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}\right) &\Longleftrightarrow a\sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}\subseteq N \\ &\Longleftrightarrow \sum_{\lambda\in\Lambda}aL_{\lambda}\subseteq N \\ &\Longleftrightarrow aL_{\lambda}\subseteq N\,(\forall \lambda\in\Lambda) \\ &\Longleftrightarrow a\in N:L_{\lambda}\,(\forall \lambda\in\Lambda) \\ &\Longleftrightarrow a\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N:L_{\lambda}). \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日