解答例 1

$f$ は環の準同型写像だから, $f^{-1}(J_{1})$, $f^{-1}(J_{2})$, $f^{-1}(J_{1}J_{2})$ は $R$ の左イデアルである.

$x\in f^{-1}(J_{1})f^{-1}(J_{2})$ とすると, $$ x = \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{(1)}x_{i}^{(2)}, \quad x_{i}^{(1)}\in f^{-1}(J_{1}), \quad x_{i}^{(2)}\in f^{-1}(J_{2}) $$ と表せる. このとき, $f$ が準同型写像であることを用いると, $$ f(x) = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{(1)})f(x_{i}^{(2)}), \quad f(x_{i}^{(1)})\in J_{1}, \quad f(x_{i}^{(2)})\in J_{2}. $$ ゆえに, $f(x)\in J_{1}J_{2}$. すなわち, $x\in f^{-1}(J_{1}J_{2})$. したがって, $f^{-1}(J_{1})f^{-1}(J_{2})\subseteq f^{-1}(J_{1}J_{2})$.

最終更新日：2011年11月02日