解答例 1

$K=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする. $X$ を $K$ 上の計量ベクトル空間とし, $(*\mid*)$ を $X$ 上の内積とする.

各 $x\in X$ に対して, $\lVert{x}\rVert=\sqrt{(x\mid x)}$ とおく. これにより, $X$ 上のノルム $\lVert{*}\rVert$ が定まり, $(X, \lVert{*}\rVert)$ はノルム空間になる. さらに, 実数値関数 $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ を $$ d(x, y) = \lVert{x-y}\rVert\quad (x, y\in X) $$ によって定めると, $d$ は $X$ 上の距離関数になり, $(X, d)$ は距離空間になる. $(X, d)$ が完備であるとき, $(X, \lVert{*}\rVert)$ を Hilbert 空間という.

Hilbert 空間は, Banach 空間の特別な場合である.

最終更新日：2011年11月02日