$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分左 $R$ 加群からなる集合系とし, $$ \sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda} = \left\{ \sum_{\lambda\in\Lambda}x_{\lambda} \Biggm| \begin{array}{l} x_{\lambda}\in L_{\lambda}\,(\forall\lambda\in\Lambda), \\ \mbox{有限個の $\lambda\in\Lambda$ を除いて $x_{\lambda}=0$} \end{array} \right\} $$ とおく. $\displaystyle\sum_{\lambda\in\Lambda}L$ は, $\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}L$ によって生成される $M$ の部分左 $R$ 加群に一致することを証明せよ.
解答例 1
$\displaystyle S=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}$ とおき, $$ \langle S\rangle = \left\{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \Biggm| a_{i}\in R,\,x_{i}\in S,\,n=1,2,\ldots \right\} $$ とおく. $\langle S\rangle$ は $S$ によって生成される $M$ の部分 $R$ 加群である. $\langle S\rangle$ の定め方と $1\in R$ であることより, $\displaystyle \sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}\subseteq \langle S\rangle$ は明らかである. 逆に, $x\in \langle S\rangle$ とすると, $$ x = \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i},\quad a_{i}\in R,\quad x_{i}\in S $$ と表される. 各 $i$ に対して, $x_{i}\in S$ より, ある $\lambda_{i}\in\Lambda$ が存在して, $x_{i}\in L_{\lambda_{i}}$ となる. 各 $L_{\lambda_{i}}$ が $M$ の部分左 $R$ 加群であることにより, $\displaystyle x\in\sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}$ がいえる. したがって, $\displaystyle \langle S\rangle\subseteq\sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}$ も成り立ち, $\displaystyle \sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda} = \langle S\rangle$ となる.
最終更新日：2011年11月02日