$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $U$, $V$, $W$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $V\subseteq U$ ならば, $$ U\cap (V+W) = V + (U\cap W) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$V\subseteq U$ と仮定する.
仮定より $V\subseteq U\cap(V+W)$ であり, $U\cap W\subseteq U\cap (V+W)$ であるから, $V+(U\cap W)\subseteq U\cap (V+W)$.
逆に, $x\in U\cap (V+W)$ とする. $x\in V+W$ より, ある $y\in V$, $z\in W$ が存在して, $x=y+z$. このとき, $$ z = x-y \in U+V. $$ 仮定より $U+V\subseteq U$ であるから, $z\in U\cap W$. ゆえに, $x\in V+(U\cap W)$. したがって, 逆の包含関係も成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日