解答例 1

$\alpha = \sup{a_n}$, $\beta' = \inf{b_n}$, $\gamma = \sup{a_nb_n}$, $\gamma' = \inf{a_nb_n}$ とおく. 問題の仮定より, $\alpha\geq 0$, $\beta\geq 0$ である. $$ \gamma'\leq a_nb_n\leq \alpha b_n\quad (n=1, 2, \ldots) $$ であるから, $$ \gamma'\leq\inf{\alpha b_n} = \alpha\beta'. $$ また, $$ a_n\beta'\leq a_nb_n\leq\gamma\quad (n=1, 2, \ldots) $$ であるから, $$ \alpha\beta'=\sup{a_n\beta'}\leq\gamma. $$

最終更新日：2011年11月02日