$z$, $w$ を複素数とするとき, 不等式 \begin{equation} \lvert z\rvert - \lvert w\rvert\leq \lvert z-w\rvert \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
また, 等号成立条件は $\overline{z}w$ が実数であって $\lvert w\rvert^2\leq\overline{z}w$ であることを証明せよ.
解答例 1
三角不等式より \begin{equation} \lvert z\rvert=\lvert (z-w)+w\rvert\leq \lvert z-w\rvert+\lvert w\rvert \tag{1} \end{equation} であるから, ($*$) が成り立つ.
($*$) において等号が成立するのは, (1) で三角不等式を適用した部分において等号が成り立つとき, したがって $\overline{(z-w)}w$ が負でない実数のときである. それは, $\overline{z}w$ が実数であって $\lvert w\rvert^2\leq\overline{z}w$ であることと同値である.
最終更新日：2011年11月02日