解答例 1

($\Rightarrow$) 実数 $R>0$ を任意にとる. 仮定より, ある番号 $N$ が存在して, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ 0 < a_n = \lvert a_n\rvert = \lvert a_n-0\rvert < \frac{1}{R}. $$ ゆえに, $$ \frac{1}{a_n} > R. $$ したがって, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n} = \infty$.

($\Leftarrow$) 実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. 仮定より, ある番号 $N$ が存在して, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \frac{1}{a_n} > \frac{1}{\varepsilon}. $$ ゆえに, $$ \lvert a_n-0\rvert = \lvert a_n\rvert = a_n < \varepsilon. $$ したがって, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = 0$.

最終更新日：2011年11月02日